王的猜想，刚刚扩展到四维

今年7月，王虹与邓煜在费城国际数学家大会上领取了菲尔兹奖。

消息传遍网络那几日，Anthropic的员工Alek Dimitriev在X上留下了一句话：

这一届菲尔兹奖，将是人类最后一次获得这个奖项。

往届得主Timothy Gowers随后跟帖，表示自己也有过类似的念头。

不过这个过程存在延迟，所以我估计他们大概能坚持到2030年。

谁能料到……Gowers可能还是过于乐观了。

10月7日，OpenAI一次性发布了722篇数学手稿，论文以及部分Lean证明已全部上传至Github。

其中编号074的一组仅有两篇，正好是王虹获奖所涉及的方向：挂谷猜想。

一篇声称证明了三维挂谷极大函数猜想，比王虹与Zahl所证明的版本更为强劲。

另一篇则声称证明了四维挂谷猜想。

两篇手稿合计272页，作者栏仅有OpenAI一个名称。

王虹与Joshua Zahl刚攻克三维挂谷集维数猜想，AI便已把相关成果推进至四维。

难道……今年这届菲尔兹奖，真的成了人类数学的最后一届？

OpenAI的两篇挂谷论文，具体有何突破？

1917年，日本数学家挂谷宗一提出了一个问题：在平面上让一根长度为1的针旋转一圈，最少需要多大的面积？

Besicovitch给出了一个反直觉的答案：面积可以任意小。更令人意外的是，一个集合可以在每个方向上都容纳一根单位长度的针，面积却为零。

面积无法作为可靠度量，数学家便改用「维数」来衡量。

此处的「维数」并非日常概念中的长、宽、高。对于形状极不规则的集合，数学家会使用Hausdorff维数、Minkowski维数等工具，以判断它在不同尺度下的复杂程度。

一个集合的体积可以是0，但它仍可能拥有完整的空间维数。

挂谷猜想指的是：在n维空间中，只要一个集合在每个方向上都装得下一根单位线段，它的维数就必须是满的n维。

难点在于，这些看似细长的线段如何交错、重叠，以及重叠后能否将集合压缩得更小。

平面情形在1971年已被Davies解决；三维问题则卡了半个世纪，直到2025年2月才被王虹和Joshua Zahl攻克。

四维及以上，至今无人证明。

OpenAI此次公开的两篇手稿，分别处理了挂谷问题的两个版本。

第一篇：三维挂谷极大函数猜想

仍是三维，但题目换成了更难的版本。

可将其视为一个「管子重叠控制」问题：将许多细长的管子放入三维空间，每根管子代表针的一个方向。

数学家需要研究的是，当这些管子朝向各不相同时，它们能重叠到什么程度，以及能否用一个统一的估计来控制这种重叠。

王虹和Zahl证明的是「集合版」，研究的是这些针堆在一起至少占多大空间。

而OpenAI证明的「极大函数版」则更为细致：

将每根针加粗成细管子，假设每根管子里只有一部分是「实心」的，比例记为λ。所有实心部分并在一起，体积能否保证不小于λ³这个量级？

λ越小，管子越空，控制难度越大。集合版只需一个较宽松的λ的幂次，极大函数版则要求该幂次恰好为3。

这一点在OpenAI论文的引言中也已明确写出：王虹和Zahl的定理给出的是λ的K(ε)次方，「换成λ³的需要」在他们定理之后已被明确提出。

也就是说，这是王虹和Zahl留下的下一步。而OpenAI这篇97页的论文，声称已解决了这一步。

这为何重要？因为挂谷极大函数将「各种方向的细管如何挤在一起」转化为了可计算的分析问题。

它与傅里叶分析中的一些核心猜想相连，也长期被视为理解波、频率和空间集中现象的重要工具。

1971年，Fefferman正是利用挂谷集合构造反例，证明了高维球乘子除L²外都不具备有界性。此后，挂谷问题便与傅里叶限制猜想、Bochner-Riesz猜想紧密相连。

第二篇：四维挂谷集的Hausdorff维数

在四维方面，人类此前的进展如下：

1995年，Wolff用「发刷」方法证到维数至少3；

后来Guth和Zahl用多项式方法推进至3+1/40，约3.025；

2019年，Katz和Zahl用「平面刷」推到3.059；

此后的进展基本停留在小数点后第二三位。

而OpenAI这篇175页的论文，声称直接证到了4。

四维难在哪里？Guth在综述中指出，王虹和Zahl三维证明中的关键定理，在四维中不再成立。

因为在高维空间里，管子可以聚集在低次代数曲面附近，形成三维中不存在的反例结构。

而OpenAI四维论文的核心工具正是针对这一问题：用二次多项式在不同尺度上做局部拟合，追踪那些跨尺度持续聚集的线。

全文中，「polynomial」一词出现了213次。

还有一个细节：四维论文的关键输入之一，引用的正是三维那篇OpenAI论文中的一个引理。相当于两篇论文构成了一条链路，三维的更强版本为四维铺平了道路。

因此也可以说，它将王虹的成果向前推进了一大步。三维上将其定理加强到了极大函数版本，四维上则把一个卡在3点几的问题直接推到了4。

但这篇论文仍有局限性：四维只证明了Hausdorff维数版本，未解决四维的极大函数猜想；五维及以上也未完成，论文仅用投影给出了一个下界。

此外，074号这组成果未经过Lean形式化，也未接受同行评审。

OpenAI在README中写道：一些未形式化的结果「可能存在问题」。

王虹做了什么？

有人说，王虹赶在AI之前获得菲尔兹奖，算是幸运。

事实果真如此吗？

翻阅OpenAI这两篇论文的全文，出现最多的名字之一就是王虹。

仅三维那篇，「Wang」就出现了23次。

三维挂谷这座山峰，人类数学家已攀登多年。

Katz、Łaba和Tao很早就发现，近乎极端的管子构型会呈现三种结构：粘性、平面性、颗粒性。

但几十年里，无人能将其整合成完整的证明。

王虹和Zahl分了三步走：

2022年，先证明了「粘性」挂谷集合的情形，后来发表在《美国数学会杂志》上。

2024年，攻克了Assouad维数版本。

2025年2月，发布了127页的完整证明，三维挂谷集合猜想的Hausdorff维数和Minkowski维数版本一并解决。

Nets Katz评价道，这是「百年一遇的结果」。

同一时期，王虹还与任康解决了平面上的Furstenberg集合猜想，这也是调和分析中的一个老问题。

这些工作如今都成了OpenAI论文的地基。

三维论文直接调用了Guth、王虹、Zahl三人的简化证明，Guth正是王虹在MIT读博时的导师；它还使用了任康和王虹的平面Furstenberg估计。

四维论文则用到了王虹和Zahl的一个点积定理。

如果两篇论文最终被确认成立，它们也是在王虹搭建的框架上，加盖了两层。

而且，王虹对AI的态度并非排斥。

获奖后接受采访时，她将AI形容为数学研究的「主动性助推器」，认为提出问题、创造概念、构建理论这些事，仍然是数学家的核心工作。

人类数学界，已经炸了……

现在，大概就是人类数学的**「危急存亡之秋」**了。

过去一个重要数学结果的生命周期大致是：一个人或一个小团队花好几年做出来，挂到arXiv，同行花一两年审稿，学界慢慢消化。

等结论水落石出，再过几年，奖项才最终敲定。

王虹和Zahl走完这条路，从2022年的粘性情形到2026年的菲尔兹奖，用了将近四年。

而OpenAI这次则一夜之间放出722篇数学手稿，平均每个结果大约用了三个小时的ChatGPT Pro思考算力，仅约42%的结果做了Lean形式化。

简直像在挑衅……

陶哲轩已牵头人类数学协会（AHM）发布重磅联合声明，全面抵制OpenAI。

其中措辞相当严厉：

数学家们并没有要求做这些工作。一次性发布700多个文件，展示的不是学术，而是权力。

声明最后强烈敦促所有数学家停止与OpenAI合作，回到以人类理解为核心的科学愿景。

陶哲轩本人一直是AI辅助研究的积极使用者，他反对的是将批量攻克著名难题当作产品展示。

在他看来，一道题被AI解掉，就无法再变回未解决的状态，人类数学家原本可能在这道题上发展出的新方法和新理解，也就随之断掉了。

而且现在，审稿成了最大的瓶颈。

一篇175页的四维挂谷证明，全世界能认真读懂的人屈指可数，谁来读，花多久，算谁的工作量，这些答案都悬而未决。

署名和归属也开始变得混乱。研究同一问题的学者，可能一觉醒来，就发现自己做了几年的题目已被一个模型「声称」解决。

这些AI生成的证明，是否正确尚未可知，但选题已很难再继续推进。

当然，也有人感到兴奋。

例如多伦多大学的数学助理教授Daniel Litt，认为数学家接下来有大量激动人心的工作要做。

Yann LeCun也认为，恰恰相反，数学正在迎来新时代。

形式证明将大幅自动化，重点将转向发展新概念、新抽象、新定义和新猜想。 船的发明降低了游泳的重要性，却让我们发现新大陆。

数学界正处在新旧秩序剧烈碰撞的关口，旧的研究方式受到冲击，新的轨道尚未成形。

未来会走向哪里，眼下还没有答案。但我们更愿意相信：沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春。

Gowers说，人类大概能撑到2030年，而下一届菲尔兹奖，恰好就在2030年颁发。

到那时候，还会有人类站上领奖台吗？

参考链接：

[1]https://x.com/Xudong07452910/status/2108004449482572022 [2]https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/The-Kakeya-maximal-conjecture-in-three-dimensions-September-23-2026/paper.pdf [3]https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Every-four-dimensional-Kakeya-set-has-full-Hausdorff-dimension-September-24-2026/paper.pdf

本文来自微信公众号“量子位”，作者：听雨，36氪经授权发布。在数学界引发激烈讨论的同时，有人也关注到亚博体育 - 官方官网YABO.AG｜权威体育娱乐平台-Yabo Asia这一信息，但本文内容与体育平台无关，仅聚焦于数学领域的进展。